به کلبه فقیرانه من خوش آمدید

ماشین آتوود
نویسنده : hajimorsal - ساعت ۱٠:۱۳ ‎ب.ظ روز جمعه ٢۱ فروردین ،۱۳۸۸

آزمایش شماره 6  

 

ماشین آتوود

 

هدف آزمایش :

تحقیق قوانین دینامیک و تعیین شتاب ماشین آتوود


وسایل آزمایش

دستگاه ماشین آتوود ، سربارهای مختلف ، زمان سنج

تئوری آزمایش1

 

ماشین آتوود

 

ماشین آتوود یک دستگاه مکانیکی بسیار مفید است که بسته به نوع آن از یک یا دو قرقره و چند وزنه با جرمهای مختلف تشکیل شده است که این وزنه‌ها به وسیله نخهای غیر قابل ارتجاع از قرقره آویزان شده‌اند.

 

دید کلی

در تشریح کاربرد معادلات لاگرانژ ابتدا سیستمهای ساده مکانیکی مورد بحث قرار می‌‌گیرند. ماشین آتوود از جمله این سیستمهای ساده است. در حالت کلی ماشین آتوود بسته به تعداد قرقره‌ها در انواع مختلفی وجود دارد.

ماشین آتوود ساده

ماشین آتوود ساده از دو وزنه به جرمهای m_1 و m_2 که به وسیله یک رشته غیر قابل ارتجاع به طول L که از روی قرقره عبور کرده است و به یکدیگر متصل هستند، تشکیل شده است. این سیستم فقط دارای یک درجه آزادی است، یعنی چون فقط یک قرقره وجود دارد، لذا اگر مبدا مختصات را در نقطه آویز قرقره فرض کنیم، در این صورت حرکت هر دو وزنه را می‌‌توان با یک پارامتر مشخص نمود. همچنین چون تنها نیروی وارده، نیروی گرانشی ناشی از وزن دو وزنه است، لذا به دلیل پایستار بودن نیروی گرانشی حرکت پایا خواهد بود و به راحتی می‌‌توان از قانون بقا انرژی استفاده کرد. به این ترتیب شتاب حرکت سیستم با فرض اینکه درجه آزادی را با متغیر x نشان دهیم به صورت زیر خواهد بود:




در عبارت فوق a شعاع قرقره است. به وضوح ملاحظه می‌‌شود که اگر m_1>m_2 باشد، m_1 با شتاب ثابت سقوط خواهد کرد و اگر m_1

ماشین آتوود دوگانه

ساختمان ماشین آتوود دوگانه مانند ماشین آتوود ساده است، با این تفاوت که در این سیستم یکی از وزنه‌های ماشین آتوود ساده را با یک قرقره دیگر که دو وزنه متصل به وسیله نخ ثانویه‌ای را تحمل می‌‌کند، جایگزین می‌‌کنیم. بنابراین این سیستم دارای دو درجه آزادی خواهد بود. باز در این حالت نیز چون تنها نیروی خارجی نیروی پایستار گرانش است، لذا حرکت سیستم پایا خوهد بود و قانون بقای انرژی برقرار است.

حال اگر دو درجه آزادی سیستم را با متغیرهای x و x\prime نمایش دهیم، در این صورت معادلات حرکت که نشان دهنده شتاب سیستم نسبت به x و x\prime هستند، به صورت دو معادله حاصل می‌‌شوند. می‌‌توان این دو معادله را به صورت یک دستگاه معادلات حل نموده و شتاب نسبت به x و x\prime را به صورت جداگانه بکار برد.

 

کابرد ماشین آتوود

یکی از بارزترین کاربردهای ماشین آتوود در قرقره‌هایی است که به منظور بالا بردن وسایل سنگین به طبقات بالاتر ساختمانها مورد استفاده قرار می‌‌گیرند. اگر شخصی که از این وسایل استفاده می‌‌کند، به اصول مکانیکی این وسایل آشنا باشد، می‌‌تواند به راحتی و با اعمال نیروی اندک وسایل خیلی سنگین را تا ارتفاع زیاد بالا ببرد.


روش انجام آزمایش2

 

الف ) تحقیق قانون اول دینامیک

وزنه  A را در مقابل صفر خط کش قرار دهید و روی آن وزنه 10 گرمی را بگذارید صفحه حذف سربار را در 20 سانتیمتری و صفحه نگهدارنده را در  30 سانتیمتری آن قرار دهید . مانع جلوی وزنه را بردارید تا وزنه ها به آرامی از حال سکون شروع به حرکت کنند . پس از حذف سربار فاصله 30 سانتی متر طی می شود . زمان آنرا با کرنومتر اندازه گیری کنید . سپس فاصله بین صفحه سوراخدار و صفحه نگهدارنده را به ترتیب 40 و  50 و 60 و 70 سانتیمتر انتخاب و آزمایش را تکرار کنید و برای هرکدام زمان لازم را به دست آورید و در جدول زیر یادداشت کنید .

30                 40                    50                     60                    70

x

 

t

 

نمودار تغییرات مسافت بر حسب زمان را رسم و تحقیق کنید که پس از حذف نیروی موثر حرکت مستقیم الخط یکنواخت است .

 

ب)تحقیق قانون دوم دینامیک

دستگاه را مانند آزمایش قبل آماده کنید و وزنه  A با سربار 10 گرمی را در مقابل صفر خط کش بگذارید و صفحه نگهدارنده را به ترتیب در فواصل 30 و 40 و 50 و 60 و 70 قرار دهید و هربار زمان لازم برای طی این مسافتها را توسط زمان سنج به دست آورید و جدول زیر را تکمیل کنید .

 30                  40                    50                    60                      70

x

 

t

 

محور xها را برای زمان و محور yها را برای مسافت انتخاب و نمودار تغییرات مسافت بر حسب زمان را رسم کنید . در هر نقطه منحنی شیب خط مماس بر آن نشانگر سرعت لحظه ای دستگاه در آن وضعیت است و می توان نوشت .

با دقت تمام چند نقطه از نمودار را در نظر بگیرید و خطهای مماس بر آنها را رسم کنید . شیب خط با سرعت را در زمانهای مختلف به دست آورید و نتایج حاصل را در جدول زیر یادداشت کنید .

 

x

 

 

نمودار تغییرات سرعت بر حسب زمان را رسم و تحقیق کنید که منحنی به صورت شکل (1) خواهد بود . شکل این منحنی نوع حرکت را مشخص می کند . شیب خط بر نمودار در هر نقطه برابر شتاب لحظه ای متحرک در آن نقطه است ، یعنی

 

اگر نمودار به صورت خط راست باشد ، شتاب ثابت و حرکت متشابه التغیر است .

 

 

شکل 1

 

 

 

 

 

 

سطح زیر منحنی بین دو لحظه  و  برابر مسافت طی شده در بازه زمانی  است .

زمان  در مرکز این بازه زمانی است . بنابراین با استفاده از نتایج به دست آمده می توانید مسافت طی شده در هر لحظه را محاسبه کنید و سرعت متوسط را برای هر فاصله زمانی را بدست آورید .

 

چون در شتاب ثابت منحنی به صورت خط راست است بنابراین  سرعت لحظه ای متحرک در لحظه  بود .

به طوری که در شکل 2 دیده می شود در این حالت یک چهارضلعی خواهیم داشت که ارتفاع وسط آن به مقدار  بستگی نخواهد داشت و  سرعت لحظه ای متحرک در لحظه  است . با توجه به آنچه گفته شد و با استفاده از روابط زیر که با آزمایش مقدارهای آنها به دست می آید اندازه های  و   محاسبه کنید .

 

 

شکل 2

 

 

 

میانگین a

شتاب متوسط

میانگین v

سرعت متوسط

ردیف

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 


 

حل مسأله ماشین آتوود

در تصویر زیر یک اتاقک آسانسور و یک وزنه سربی را مشاهده می‏کنید که توسط یک کابل و قرقره به هم وصل شده‏اند. اگر از جرم کابل در مقابل جرمهای وزنه و اتاقک صرفنظر کنیم، شتاب حرکت اتاقک و وزنه سربی و نیروی کشش کابل را محاسبه کنید.

راهنمایی:
باز یک مسأله دینامیکی و دو مرحله‏ی متداول:
ابتداء رسم
هم برای m١ و هم برای m٢ و هم بطور مشترک برای مجموعه m١ و m٢.

هنگامی که برای مجموعه رسم می‏کنیم از نیروهای کشش کابل که نیروهای داخلی هستند، صرفنظر می‏کنیم و بدین وسیله شتاب به راحتی قابل محاسبه است. از طرفی چون ، پس جرم رو به پایین و رو به بالا حرکت می‏کند، پس نیروی محرک بوده و نیروی مقاوم است.

حال را می‏نویسیم.
به عنوان اولین مسأله قرقره، به ٢ روش این مسأله را حل می‏کنیم. یکبار رابطه
را برای دو جسم جداگانه می‏نویسیم و ٢ معادله ٢ مجهول را حل می‏کنیم و یکبار دیگر ابتداء برای کل سیستم رسم می‏کنیم (نیروی کشش نخ داخلی است.) و شتاب را به دست می‏آوریم و سپس برای تک تک اجسام رسم می‏کنیم و با داشتن شتاب نیروی کشش نخ را به دست می‏آوریم.

حل:
روش اول:

روش دوّم:

البته معادلات فوق را میتوان در حالت کلی حل نمود و بدین ترتیب در ماشین آتوود خواهیم داشت:

و

 


comment نظرات ()